Démonstration12 min

Le problème, et le jeu

Les images sur lesquelles on travaille, et à partir de quel score on peut dire qu'une machine a appris.

Ton œil lit un chiffre manuscrit sans effort, et personne ne sait écrire la règle qu'il applique. Lister les cas un par un ne la remplace pas, parce qu'il y a trop de façons d'écrire un sept, et c'est pourquoi on va chercher cette règle dans des exemples. Reste à savoir combien il y en a, à quoi ils ressemblent, et à partir de quel score une machine aura vraiment appris plutôt que deviné.

Douze images du jeu de test, rangées en deux lignes de six et prises dans l'ordre du fichier. Chacune est un chiffre manuscrit gris et noir sur fond blanc, dans une vignette carrée, et porte sous elle son indice à gauche et le chiffre écrit à droite : l'image numéro zéro est un sept, la numéro un un deux, la deux un un, la trois un zéro, la quatre un quatre, la cinq un un, la six un quatre, la sept un neuf, la huit un cinq, la neuf un neuf, la dix un zéro, la onze un six. Les traits sont épais, noirs en leur milieu et gris sur leurs bords, et deux images d'un même chiffre n'ont ni la même inclinaison ni la même épaisseur. — Le programme les prend dans l'ordre du fichier, sans en choisir aucune.

Sous chaque vignette se lisent son numéro dans le fichier, à gauche, et le chiffre qu'elle montre, à droite : la première est l'image numéro 0, et c'est un 7.

Les deux 1, en troisième et sixième position de la première rangée, n'ont ni la même inclinaison ni la même épaisseur, et aucun programme ne les reconnaîtra en comparant les pixels un par un à un 1 modèle.

Dans chaque carré, enfin, le chiffre est posé à peu près au milieu, et ce « à peu près » se mesure exactement.

Trois images, trois réponses. Rien n'est expliqué ici, et c'est voulu : le chapitre commence par constater que la machine répond, puis passe onze pages à dire pourquoi.

0:00 / 0:29

Les objets

\mathcal{X}=[0,1]^{28\times 28},\qquad \mathcal{Y}=[\![0,9]\!]

(2.1)

\mathcal{X}

est un ensemble de matrices, pas de vecteurs, puisque la mise en forme n'a pas encore eu lieu, et

\mathcal{Y}

est un ensemble fini. Le fichier, lui, donne un octet par pixel, entre

0

255

, et les coefficients d'une image en sont le quotient par

255

Les objets du jeu, typés

Symbole	Type	Ensemble	Rôle
$N_{\text{train}}$	Scalaire entier	$\mathbb{N}^{*}$	$60\,000$ , la taille du jeu d'entraînement
$N_{\text{test}}$	Scalaire entier	$\mathbb{N}^{*}$	$10\,000$ , la taille du jeu de test
$n$	Indice	$[\![1,N_{\text{train}}]\!]$ ou $[\![1,N_{\text{test}}]\!]$ selon le jeu	Désigne un exemple. Ce n'est pas une quantité
$X^{(n)}$	Matrice	$\mathcal{X}$	L'image du $n$ -ième exemple, $28\times 28$
$c^{(n)}$	Scalaire entier	$\mathcal{Y}$	L'étiquette du $n$ -ième exemple
$\mathcal{D}_{\text{train}}$	Ensemble de couples	$\subseteq\mathcal{X}\times\mathcal{Y}$	$\{(X^{(n)},c^{(n)})\}_{n=1}^{60\,000}$
$\mathcal{D}_{\text{test}}$	Ensemble de couples	$\subseteq\mathcal{X}\times\mathcal{Y}$	$\{(X^{(n)},c^{(n)})\}_{n=1}^{10\,000}$ , jamais vues à l'entraînement

Le fichier numérote ses images à partir de

0

et le cours indexe ses exemples à partir de

1

: ce que le programme appelle l'image n°

0

est l'exemple

n=1

Les trois notations d'indice

Écriture	Ce qu'elle désigne	Ce qu'elle n'est pas
$X^{(n)}$ , $\mathbf{x}^{(n)}$	Le $n$ -ième exemple du jeu, en grille puis en colonne	Une puissance
$W^{[l]}$	L'étape de calcul numéro $l$ , à partir de la page 8	Ni une puissance, ni un numéro d'exemple
$x_{k}$	La $k$ -ième composante d'un vecteur	Un exemple ni une étape de calcul

Les trois cohabitent dans une même formule à partir de la page 10, et les parenthèses, les crochets et l'indice bas y sont trois marques distinctes, jamais interchangeables. Sur une matrice, l'indice bas double

X_{ij}

désigne la ligne et la colonne.

Ce que le jeu contient

Le plus paresseux des systèmes ne regarde pas l'image et répond toujours le chiffre le plus fréquent du jeu. Ce qu'il obtient est le seuil sous lequel un score ne veut rien dire, et il se calcule en comptant les classes. Le programme l'appelle le seuil du hasard instruit, instruit parce que ce système sait au moins quel chiffre revient le plus souvent.

La répartition des classes · cours/lecon2/mesures.py, section 1

    repartition    chiffre :      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9
                   train   :   5923   6742   5958   6131   5842   5421   5918   6265   5851   5949   total 60000
                   test    :    980   1135   1032   1010    982    892    958   1028    974   1009   total 10000

    classe la plus frequente au test        1  (1135 images)
    SEUIL DU HASARD INSTRUIT                11.35 %

Lecture

Les classes ne sont pas équilibrées : le $1$ est le chiffre le plus fréquent et le $5$ le moins fréquent, et l'écart entre les deux vaut à l'entraînement $24\,\%$ du plus petit des deux comptes.
Un modèle qui répondrait toujours $1$ , sans regarder l'image, tomberait juste $1\,135$ fois sur $10\,000$ , soit $11{,}35\,\%$ de bonnes réponses.
C'est donc le seuil : sous $11{,}35\,\%$ , un résultat ne signifie rien, et à peine au-dessus il ne signifie presque rien. Tout score de ce chapitre se lit contre cette barre.

Ce que valent les pixels

    part des valeurs nulles (train)         80.88 %
    valeur moyenne d'un pixel (train)       0.130660
    pixels nuls sur les 60 000 images       67 sur 784

Lecture

Quatre pixels sur cinq sont exactement nuls, une image de chiffre étant surtout du blanc, et la page 4 montrera que ce blanc ne pèse sur aucun score. Ce compte porte sur tous les pixels de toutes les images pris ensemble.
La ligne suivante compte autre chose : $67$ pixels sur $784$ sont nuls sur les $60\,000$ images à la fois, et ce sont les pixels du pourtour de la grille, où aucune encre n'apparaît jamais. Les nombres qu'un modèle leur attachera ne pourront donc rien apprendre, et il y en aura $10\times 67=670$ à la page 6, un par pixel mort et par chiffre possible.

Vérifier que les images sont centrées, et sur quoi

Ce « à peu près au milieu » relevé sur la planche des douze images n'est pas un hasard, puisque les auteurs du jeu ont recadré les 70 000 images avant de les publier.

Deux questions se posent alors, et elles se mesurent l'une comme l'autre. Ont-ils recadré les 60 000 images d'entraînement, ou seulement quelques-unes ? Et « au milieu », c'est au milieu de quoi exactement ?

Les lignes et les colonnes se comptent de 1 à 28 dans tout le chapitre, la ligne 1 en haut et la colonne 1 à gauche.

Ce qu'on appelle le milieu d'une image

Ce qu'on appelle le milieu d'une image est son centre de masse, c'est-à-dire l'endroit où son encre se concentre, et il se calcule en deux fois, puisqu'une position dans la grille demande deux nombres.

D'abord la ligne. Chaque pixel se trouve sur une ligne $i$ et porte une quantité d'encre $X_{ij}$ comprise entre 0 et 1, et l'on fait la moyenne des numéros de ligne en comptant chaque pixel autant qu'il porte d'encre. Un pixel blanc ne compte donc pas du tout, quand un pixel noir compte pour un.

La colonne se traite de la même façon, et le centre de masse est le couple formé par les deux moyennes.

\Big(\ \frac{\sum_{ij} X_{ij}\,i}{\sum_{ij} X_{ij}}\ ,\ \frac{\sum_{ij} X_{ij}\,j}{\sum_{ij} X_{ij}}\ \Big)

(2.2)

Les deux composantes se calculent séparément, avec le même dénominateur. Ce dénominateur est la quantité totale d'encre de l'image.

Où tombe le milieu géométrique

Le milieu géométrique de la grille vaut $(14{,}5\ ;\ 14{,}5)$ , et il ne tombe sur aucun pixel, parce que 28 est un nombre pair. C'est de lui que la mesure va écarter le jeu.

Le centre de masse moyen des $60\,000$ images · cours/lecon2/mesures.py, section 1

    CENTRE DE MASSE DES 60 000 IMAGES, en indices 1 a 28
                                              ligne     colonne
      centre de masse moyen                  14.9959     15.0068
      ecart-type entre images                 0.2892      0.2909

      ecart au milieu geometrique, 14,5      +0.4959     +0.5068
      distance                                0.7091 pixel

      ecart a l'indice 15                    -0.0041     +0.0068
      distance                                0.0080 pixel

      rapport des deux ecarts                   89.1

Lecture

Le jeu est centré sur l'indice $15$ , et pas sur le milieu de la grille. L'écart au milieu géométrique vaut $0{,}7091$ pixel quand l'écart à l'indice $15$ n'en vaut que $0{,}0080$ , soit un rapport de $89$ calculé avant tout arrondi d'affichage : l'indice $15$ n'est pas un peu meilleur, il l'est de deux ordres de grandeur.
Cet écart au milieu géométrique n'est pas du bruit, puisqu'il vaut un demi-pixel sur chaque axe et qu'il va toujours vers le bas et vers la droite, alors que l'écart-type entre images ne vaut que $0{,}29$ pixel.
Une grille de côté pair n'a pas de pixel central, si bien que les auteurs du jeu ont dû en choisir un, et ils ont choisi le $15$ . « Centré » ne veut rien dire tant qu'on n'a pas dit « centré sur quoi ».
Un écart-type de $0{,}29$ pixel signifie que les images s'écartent très peu de cette moyenne, et non que des images très décentrées se compensent entre elles : elles sont donc recadrées une par une, et ce chapitre n'a rien à recadrer.
Cela comptera page 4, où l'on verra qu'un même chiffre décalé de quelques colonnes change tout le calcul d'un modèle.

Une image, en entier

Voici la première image du jeu de test, telle qu'elle est dans le fichier : $784$ octets, un par pixel, rangés en $28$ lignes de $28$ . Le point remplace le zéro pour que la forme se voie.

L'image de test n°0, en octets · cours/lecon2/mesures.py, section 2

           1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28
       1   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       2   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       3   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       4   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       5   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       6   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       7   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       8   .   .   .   .   .   .  84 185 159 151  60  36   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       9   .   .   .   .   .   . 222 254 254 254 254 241 198 198 198 198 198 198 198 198 170  52   .   .   .   .   .   .
      10   .   .   .   .   .   .  67 114  72 114 163 227 254 225 254 254 254 250 229 254 254 140   .   .   .   .   .   .
      11   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  17  66  14  67  67  67  59  21 236 254 106   .   .   .   .   .   .
      12   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  83 253 209  18   .   .   .   .   .   .
      13   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  22 233 255  83   .   .   .   .   .   .   .
      14   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 129 254 238  44   .   .   .   .   .   .   .
      15   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  59 249 254  62   .   .   .   .   .   .   .   .
      16   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 133 254 187   5   .   .   .   .   .   .   .   .
      17   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   9 205 248  58   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      18   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 126 254 182   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      19   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  75 251 240  57   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      20   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  19 221 254 166   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      21   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   3 203 254 219  35   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      22   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  38 254 254  77   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      23   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  31 224 254 115   1   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      24   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 133 254 254  52   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      25   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  61 242 254 254  52   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      26   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 121 254 254 219  40   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      27   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 121 254 207  18   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      28   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

    etiquette                               7
    pixels non nuls                         116 sur 784
    somme des octets                        18454
    lignes encrees                          8 a 27
    octet maximal                           255  en (13, 20),  1 pixel a cette valeur

Lecture

La barre horizontale du $7$ occupe les lignes $8$ à $11$ , colonnes $7$ à $22$ . La hampe oblique descend ensuite de la ligne $11$ à la ligne $27$ .
$116$ pixels non nuls sur $784$ : $14{,}8\,\%$ de l'image porte de l'encre, sensiblement moins que la moyenne du jeu, où c'est à peu près un pixel sur cinq.
Un seul pixel atteint $255$ , en $(13,20)$ . L'écriture manuscrite numérisée est grise presque partout : $84$ , $185$ , $159$ , $151$ , $60$ , $36$ à la ligne $8$ .

La figure dessine les sept cent quatre-vingt-quatre ronds, sans en omettre un. Un pixel blanc est une donnée au même titre qu'un pixel noir.

Un rond par pixel, et aucun ne manque, pas même les blancs : un pixel blanc est une donnée au même titre qu'un pixel noir, et c'est pour cela que la figure les dessine tous.

Sous les trois ronds cerclés de brique se lit le passage de l'octet à la valeur : $222$ donne $0{,}870588$ , et $255$ donne $1$ . C'est la division par $255$ annoncée plus haut, faite sur trois pixels de cette image.

Le pourtour de la grille, enfin, reste vide sur ses sept premières lignes comme sur ses six premières colonnes, et l'encre tient dans un rectangle au milieu. Ce rectangle est propre à cette image : les 67 pixels comptés plus haut sont, eux, ceux qu'aucune des 60 000 images n'encre jamais.

Vérification rapide n° 8

Le contenu du jeu se lit dans le tableau de répartition ci-dessus. Les vérifications portent un numéro propre sur tout le parcours, les sept premières étant au chapitre 1. Ces numéros ne suivent pas l'ordre des pages, et il est normal d'en rencontrer un plus grand avant un plus petit.

a
Combien d'images du chiffre $5$ le jeu d'entraînement contient-il, et quelle part du total cela représente-t-il ?
b
Pourquoi le seuil de $11{,}35\,\%$ est-il celui du chiffre $1$ , et non celui d'un autre chiffre ?
c
Ce seuil serait-il le même si on le calculait sur le jeu d'entraînement ? Le vérifier avec les nombres du tableau.

Aucune réponse à cliquer : il y a un calcul à faire.

Démonstration12 min

Le problème, et le jeu

Les images sur lesquelles on travaille, et à partir de quel score on peut dire qu'une machine a appris.

Sous chaque vignette se lisent son numéro dans le fichier, à gauche, et le chiffre qu'elle montre, à droite : la première est l'image numéro 0, et c'est un 7.

Dans chaque carré, enfin, le chiffre est posé à peu près au milieu, et ce « à peu près » se mesure exactement.

Trois images, trois réponses. Rien n'est expliqué ici, et c'est voulu : le chapitre commence par constater que la machine répond, puis passe onze pages à dire pourquoi.

0:00 / 0:29

Les objets

\mathcal{X}=[0,1]^{28\times 28},\qquad \mathcal{Y}=[\![0,9]\!]

(2.1)

\mathcal{X}

est un ensemble de matrices, pas de vecteurs, puisque la mise en forme n'a pas encore eu lieu, et

\mathcal{Y}

est un ensemble fini. Le fichier, lui, donne un octet par pixel, entre

0

255

, et les coefficients d'une image en sont le quotient par

255

Les objets du jeu, typés

Symbole	Type	Ensemble	Rôle
$N_{\text{train}}$	Scalaire entier	$\mathbb{N}^{*}$	$60\,000$ , la taille du jeu d'entraînement
$N_{\text{test}}$	Scalaire entier	$\mathbb{N}^{*}$	$10\,000$ , la taille du jeu de test
$n$	Indice	$[\![1,N_{\text{train}}]\!]$ ou $[\![1,N_{\text{test}}]\!]$ selon le jeu	Désigne un exemple. Ce n'est pas une quantité
$X^{(n)}$	Matrice	$\mathcal{X}$	L'image du $n$ -ième exemple, $28\times 28$
$c^{(n)}$	Scalaire entier	$\mathcal{Y}$	L'étiquette du $n$ -ième exemple
$\mathcal{D}_{\text{train}}$	Ensemble de couples	$\subseteq\mathcal{X}\times\mathcal{Y}$	$\{(X^{(n)},c^{(n)})\}_{n=1}^{60\,000}$
$\mathcal{D}_{\text{test}}$	Ensemble de couples	$\subseteq\mathcal{X}\times\mathcal{Y}$	$\{(X^{(n)},c^{(n)})\}_{n=1}^{10\,000}$ , jamais vues à l'entraînement

Le fichier numérote ses images à partir de

0

et le cours indexe ses exemples à partir de

1

: ce que le programme appelle l'image n°

0

est l'exemple

n=1

Les trois notations d'indice

Écriture	Ce qu'elle désigne	Ce qu'elle n'est pas
$X^{(n)}$ , $\mathbf{x}^{(n)}$	Le $n$ -ième exemple du jeu, en grille puis en colonne	Une puissance
$W^{[l]}$	L'étape de calcul numéro $l$ , à partir de la page 8	Ni une puissance, ni un numéro d'exemple
$x_{k}$	La $k$ -ième composante d'un vecteur	Un exemple ni une étape de calcul

X_{ij}

désigne la ligne et la colonne.

Ce que le jeu contient

La répartition des classes · cours/lecon2/mesures.py, section 1

    repartition    chiffre :      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9
                   train   :   5923   6742   5958   6131   5842   5421   5918   6265   5851   5949   total 60000
                   test    :    980   1135   1032   1010    982    892    958   1028    974   1009   total 10000

    classe la plus frequente au test        1  (1135 images)
    SEUIL DU HASARD INSTRUIT                11.35 %

Lecture

Les classes ne sont pas équilibrées : le $1$ est le chiffre le plus fréquent et le $5$ le moins fréquent, et l'écart entre les deux vaut à l'entraînement $24\,\%$ du plus petit des deux comptes.
Un modèle qui répondrait toujours $1$ , sans regarder l'image, tomberait juste $1\,135$ fois sur $10\,000$ , soit $11{,}35\,\%$ de bonnes réponses.
C'est donc le seuil : sous $11{,}35\,\%$ , un résultat ne signifie rien, et à peine au-dessus il ne signifie presque rien. Tout score de ce chapitre se lit contre cette barre.

Ce que valent les pixels

    part des valeurs nulles (train)         80.88 %
    valeur moyenne d'un pixel (train)       0.130660
    pixels nuls sur les 60 000 images       67 sur 784

Lecture

Quatre pixels sur cinq sont exactement nuls, une image de chiffre étant surtout du blanc, et la page 4 montrera que ce blanc ne pèse sur aucun score. Ce compte porte sur tous les pixels de toutes les images pris ensemble.
La ligne suivante compte autre chose : $67$ pixels sur $784$ sont nuls sur les $60\,000$ images à la fois, et ce sont les pixels du pourtour de la grille, où aucune encre n'apparaît jamais. Les nombres qu'un modèle leur attachera ne pourront donc rien apprendre, et il y en aura $10\times 67=670$ à la page 6, un par pixel mort et par chiffre possible.

Vérifier que les images sont centrées, et sur quoi

Ce « à peu près au milieu » relevé sur la planche des douze images n'est pas un hasard, puisque les auteurs du jeu ont recadré les 70 000 images avant de les publier.

Les lignes et les colonnes se comptent de 1 à 28 dans tout le chapitre, la ligne 1 en haut et la colonne 1 à gauche.

Ce qu'on appelle le milieu d'une image

La colonne se traite de la même façon, et le centre de masse est le couple formé par les deux moyennes.

\Big(\ \frac{\sum_{ij} X_{ij}\,i}{\sum_{ij} X_{ij}}\ ,\ \frac{\sum_{ij} X_{ij}\,j}{\sum_{ij} X_{ij}}\ \Big)

(2.2)

Les deux composantes se calculent séparément, avec le même dénominateur. Ce dénominateur est la quantité totale d'encre de l'image.

Où tombe le milieu géométrique

Le milieu géométrique de la grille vaut $(14{,}5\ ;\ 14{,}5)$ , et il ne tombe sur aucun pixel, parce que 28 est un nombre pair. C'est de lui que la mesure va écarter le jeu.

Le centre de masse moyen des $60\,000$ images · cours/lecon2/mesures.py, section 1

    CENTRE DE MASSE DES 60 000 IMAGES, en indices 1 a 28
                                              ligne     colonne
      centre de masse moyen                  14.9959     15.0068
      ecart-type entre images                 0.2892      0.2909

      ecart au milieu geometrique, 14,5      +0.4959     +0.5068
      distance                                0.7091 pixel

      ecart a l'indice 15                    -0.0041     +0.0068
      distance                                0.0080 pixel

      rapport des deux ecarts                   89.1

Lecture

Le jeu est centré sur l'indice $15$ , et pas sur le milieu de la grille. L'écart au milieu géométrique vaut $0{,}7091$ pixel quand l'écart à l'indice $15$ n'en vaut que $0{,}0080$ , soit un rapport de $89$ calculé avant tout arrondi d'affichage : l'indice $15$ n'est pas un peu meilleur, il l'est de deux ordres de grandeur.
Cet écart au milieu géométrique n'est pas du bruit, puisqu'il vaut un demi-pixel sur chaque axe et qu'il va toujours vers le bas et vers la droite, alors que l'écart-type entre images ne vaut que $0{,}29$ pixel.
Une grille de côté pair n'a pas de pixel central, si bien que les auteurs du jeu ont dû en choisir un, et ils ont choisi le $15$ . « Centré » ne veut rien dire tant qu'on n'a pas dit « centré sur quoi ».
Un écart-type de $0{,}29$ pixel signifie que les images s'écartent très peu de cette moyenne, et non que des images très décentrées se compensent entre elles : elles sont donc recadrées une par une, et ce chapitre n'a rien à recadrer.
Cela comptera page 4, où l'on verra qu'un même chiffre décalé de quelques colonnes change tout le calcul d'un modèle.

Une image, en entier

Voici la première image du jeu de test, telle qu'elle est dans le fichier : $784$ octets, un par pixel, rangés en $28$ lignes de $28$ . Le point remplace le zéro pour que la forme se voie.

L'image de test n°0, en octets · cours/lecon2/mesures.py, section 2

           1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28
       1   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       2   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       3   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       4   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       5   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       6   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       7   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       8   .   .   .   .   .   .  84 185 159 151  60  36   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
       9   .   .   .   .   .   . 222 254 254 254 254 241 198 198 198 198 198 198 198 198 170  52   .   .   .   .   .   .
      10   .   .   .   .   .   .  67 114  72 114 163 227 254 225 254 254 254 250 229 254 254 140   .   .   .   .   .   .
      11   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  17  66  14  67  67  67  59  21 236 254 106   .   .   .   .   .   .
      12   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  83 253 209  18   .   .   .   .   .   .
      13   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  22 233 255  83   .   .   .   .   .   .   .
      14   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 129 254 238  44   .   .   .   .   .   .   .
      15   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  59 249 254  62   .   .   .   .   .   .   .   .
      16   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 133 254 187   5   .   .   .   .   .   .   .   .
      17   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   9 205 248  58   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      18   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 126 254 182   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      19   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  75 251 240  57   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      20   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  19 221 254 166   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      21   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   3 203 254 219  35   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      22   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  38 254 254  77   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      23   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  31 224 254 115   1   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      24   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 133 254 254  52   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      25   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  61 242 254 254  52   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      26   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 121 254 254 219  40   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      27   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 121 254 207  18   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .
      28   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

    etiquette                               7
    pixels non nuls                         116 sur 784
    somme des octets                        18454
    lignes encrees                          8 a 27
    octet maximal                           255  en (13, 20),  1 pixel a cette valeur

Lecture

La barre horizontale du $7$ occupe les lignes $8$ à $11$ , colonnes $7$ à $22$ . La hampe oblique descend ensuite de la ligne $11$ à la ligne $27$ .
$116$ pixels non nuls sur $784$ : $14{,}8\,\%$ de l'image porte de l'encre, sensiblement moins que la moyenne du jeu, où c'est à peu près un pixel sur cinq.
Un seul pixel atteint $255$ , en $(13,20)$ . L'écriture manuscrite numérisée est grise presque partout : $84$ , $185$ , $159$ , $151$ , $60$ , $36$ à la ligne $8$ .

La figure dessine les sept cent quatre-vingt-quatre ronds, sans en omettre un. Un pixel blanc est une donnée au même titre qu'un pixel noir.

Un rond par pixel, et aucun ne manque, pas même les blancs : un pixel blanc est une donnée au même titre qu'un pixel noir, et c'est pour cela que la figure les dessine tous.

Vérification rapide n° 8

a
Combien d'images du chiffre $5$ le jeu d'entraînement contient-il, et quelle part du total cela représente-t-il ?
b
Pourquoi le seuil de $11{,}35\,\%$ est-il celui du chiffre $1$ , et non celui d'un autre chiffre ?
c
Ce seuil serait-il le même si on le calculait sur le jeu d'entraînement ? Le vérifier avec les nombres du tableau.

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